О системах образующих $T$-идеалов конечно-порожденных свободных алгебр

Пусть $\mathfrak{M}$, $\mathfrak{M}'$ — два многообразия ассоциативных алгебр над бесконечным полем $F$, причем $\mathfrak{M}\subseteq\mathfrak{M}'$. Установлено некоторое достаточное условие того, что идеал тождеств многообразия $\mathfrak{M}$ от конечного числа переменных не имеет конечной системы образующих как двусторонний идеал по модулю идеала тождеств многообразия $\mathfrak{M}'$. В качестве следствия показано, что идеал тождеств алгебры матриц порядка $n$ над полем $F$ от $k\geqslant2$ переменных не имеет конечной системы образующих по модулю идеала тождеств алгебры матриц порядка $n+1$ при $n\geqslant2$. Доказано также, что идеал тождеств многообразия $\mathfrak{M}$, порожденного алгебрами с $1$, от $k\geqslant2$ переменных, имеет конечную систему образующих тогда и только тогда, когда алгебры многообразия $\mathfrak{M}$ удовлетворяют некоторому тождеству Энгеля.