Ортогональные суммы невырожденных алгебр с единицей

Пусть $\mathfrak{A}=\Phi1\oplus A$ — алгебра с единицей $1$ над полем $\Phi$. Тогда на пространстве $A$ определена билинейная операция умножения $\times$ и билинейная форма $f$. Алгебру $\mathfrak{A}$ назовем невырожденной слева (справа), если форма $f$ не вырождена слева (справа).
Вводится понятие ортогональной суммы $\mathop{\perp}\limits_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ произвольного ceмейства алгебр $\mathfrak{A}_i$ с единицей.
Теорема 1. Ортогональная сумма $\mathfrak{A}=\mathop{\perp}\limits_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ невырожденных слева (справа) алгебр $\mathfrak{A}_i$ с единицей является простой справа (слева) алгеброй с единицей.
Теорема 2. Конечномерная коммутативная невырожденная монокомпозиционная алгебра $\mathfrak{A}$ с единицей в том и только в том случае изоморфна некоторой вырожденной монокомпозиционной алгебре, когда она содержит идеал размерности $dim\,\mathfrak{A}-1$.
Предложение 3. Пусть каждая алгебра $\mathfrak{A}_i$, $i\in I$, есть поле, являющееся алгебраическим сепарабельным расширением поля $\Phi$. Тогда алгебра $\mathfrak{A}=\mathop{\perp}\limits_{i\in I}\mathfrak{A}_i$ не имеет дифференцирований, кроме нулевого.