Апериодические последовательности и функции роста алгебр

Основным результатом является
Теорема 3. Пусть $R$ — конечно-порожденная (к. п.) ассоциативная $k$-алгебра с условием алгебраичности для всевозможных произведений элементов $a_i$ из системы порождающих $\mathfrak{A}$, относительно которой алгебра $R$ имеет функцию роста $g_{\mathfrak{A}, R}(n)$. Тогда 1) если существует такое натуральное число $m$, что $g_{\mathfrak{A}, R}(m)<m(m+3)/2$, то алгебра $R$ конечномерна; 2) существует бесконечномерная к. п. ассоциативная $k$-алгебра $R$ такая, что любое произведение порождающих элементов $a_i\in\mathfrak{A}$ нильпотентно индекса $\leqslant5$ и $g_{\mathfrak{A}, R}(n)=n(n+3)/2$ для всех натуральных чисел $n$.