Альтернативные алгебры с тождеством $[x,\,y]^n=0$

Алгебра $A$ называется ассоциаторно-нильпотентной, если $(A,A,A)_m=0$ для некоторого $m$, где $(A,A,A)_1 = (A,A,A)$, $(A,A,A)_{i+1}=((A,A,A)_i, A, A)$. Доказывается, что если альтернативная $\Phi$-алгебра $A$ удовлетворяет тождеству $[x,\,y]^n=0$ и в $A$ выполнено одно из условий: 1) $A$ имеет конечное число порождающих; 2) $A$ удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов; 3) $\frac13\in\Phi$ и $A$ удовлетворяет условию максимальности для двусторонних идеалов, то $A$ ассоциаторно-нильпотентна. В качестве следствия отсюда получается, что если в альтернативной алгебре $A$ выполнено одно из условий 1)–3), то $A$ имеет ненулевой ассоциативный центр. При рассмотрении условия 1) доказан следующий результат, имеющий самостоятельный интерес: в конечно-порожденной альтернативной алгебре с тождеством $[x,\,y]^n=0$ верхний ниль-радикал нильпотентен. В последнем параграфе строится пример альтернативной алгебры с кулевым ассоциативным центром, не являющейся локально-нильпотентной.