О нильпотентных альтернативных алгебрах

Дается описание нильпотентных альтернативных (н. а.) алгебр размерности $\leqslant 7$, не являющихся ассоциативными. Одним из технических средств является введенное в работе понятие разложимой алгебры: алгебра $A$ называется разложимой над $C$, где $C$ — идеал, лежащий в аннуляторе $A$, если фактор-алгебра $A/C$ разлагается в прямую сумму ненулевых идеалов. Типом нильпотентной алгебры называется последовательность $(n_1,n_2,\dots)$, где $n_i=\dim A^i/A^{i+1}$. Дается простая конструкция разложимых н. а. алгебр. Показано, что н. а. алгебры размерности $\leqslant 5$ ассоциативны, неассоциативные н. a. алгебры размерности $6$ существуют тогда и только тогда, когда в основном поле разрешимо уравнение $x^2+x+1=0$, а в размерности $7$ они существуют над любым полем и относятся, в основном, к типу $(3, 3, 1)$. Алгебры этого типа неразложимы, и все их собственные подалгебры ассоциативны.