Свободные коммутативные квазирегулярные алгебры и алгебры без квазирегулярных подалгебр

Ассоциативная алгебра $R$ над полем $\Phi$ называется квазирегулярной, если она является группой относительно присоединенного умножения $x\circ y=x+y-xy$. Дпя квазирегулярной алгебры $R$ равносильны условия: 1) $R$ — ниль-алгебра, 2) любая подалгебра алгебры $R$ квазирегулярна, 3) $R$ — алгебраическая алгебра. Пусть размерность $\dim A$ алгебры $A$ строго меньше мощности основного поля $\Phi$. В этом случае алгебра $A$ не имеет квазирегулярных подалгебр тогда и только тогда, когда в $A$ нет нильпотентных элементов. Алгебраическая алгебра $A$ не имеет квазирегулярных подалгебр тогда и только тогда, когда она не имеет нильпотентных элементов. При этом $A$ будет подпрямым произведением тел. Построены примеры алгебр без квазирегулярных подалгебр, не представимых в виде 1) подпрямого произведения примитивных алгебр без квазирегулярных подалгебр, 2) подпрямого произведения алгебр без делителей нуля и без квазирегулярных подалгебр.