О представимости групп $\Sigma$-определимых перестановок над допустимыми множествами

Доказывается, что группа всех $\Sigma$-определимых перестановок произвольного локально счетного рекурсивно развернутого допустимого множества не будет $\Sigma$-представима над этим множеством. Строится пример, показывающий, что при отказе от локальной счетности эта группа может оказаться представимой.