Об автоморфизмах графа Ашбахера

Если регулярный граф валентности $k$ диаметра $d$ имеет $v$ вершин, то выполняется неравенство, доказанное Муром (см. [1]): $v\leqslant1+k+k(k-1)+\dots+k(k-1)^{d-1}$. Графы, для которых это нестрогое неравенство превращается в равенство, называются графами Мура. Графы Мура имеют нечетный обхват, равный $2d+1$. Простейший пример графа Мура доставляет $(2d+1)$-угольник. Дамерелл доказал, что граф Мура валентности $k\geqslant3$ имеет диаметр 2. В этом случае $v=k^2+1$, граф сильно регулярен с $\lambda=0$ и $\mu=1$, а валентность $k$ равна 3 (граф Петерсена), 7 (граф Хоффмана – Синглтона) или 57. Первые два графа являются графами ранга 3. Существование графа Мура валентности $k=57$ неизвестно, но Ашбахер доказал, что граф Мура с $k=57$ не является графом ранга 3. Граф Мура с $k=57$ назовем графом Ашбахера. Камерон доказал, что граф Ашбахера не может быть вершинно транзитивным. Здесь рассматриваются подграфы неподвижных точек автоморфизмов графов Мура и группы автоморфизмов гипотетического графа Ашбахера в случае, когда эта группа содержит инволюцию.