О симметрической инвариантной билинейной форме $J$-идеала полупервичной алгебры Мальцева

Пусть $\Phi$ – ассоциативное коммутативное кольцо с $1$, $\frac16\in\Phi$, $A$ – $\Phi$-алгебра Мальцева, $J(A)$ – $J$-идеал алгебры $A$, т.е. идеал $A$, порожденный всеми якобианами, $Z$ – центр ограничения $\tilde R(A)$ на идеале $J(A)$ алгебры правых умножений $R(A)$. Существует симметрическая инвариантная билинейная форма $(x,y)$, определенная на $J(A)$ со значениями в $Z$ ($Z$-форма), удовлетворяющая равенству $\{x,z,y\}=3(x,y)z-3(x,z)y$, где $\{x,z,y\}=J(x,z,y)+3x(z,y)$. Доказывается единственность и невырожденность этой $Z$-формы при условии, что $J(A)$ – полупервичная алгебра. Поскольку идеал $J(A)$ полупервичной алгебры $A$ также является полупервичной алгеброй, то последний результат верен, если полупервичностъ $J(A)$ заменить на полупервичность $A$. Эти результаты используются для нахождения новых тождеств в алгебрах Мальцева. При доказательстве основных результатов существенно используются свойства ниль-элементов индекса $2$ алгебры $A$.