Алгебра Линденбаума–Тарского булевых алгебр с выделенным идеалом

Дается полное решение проблемы М. Г. Перетятькина об описании алгебры с выделенными идеалами. Доказывается, что эта алгебра изоморфна $\mathfrak{B}_{\omega^\omega\times\eta}$ – алгебре интервалов линейного порядка $\omega^\omega\times\eta$. На языке прямых слагаемых полностью описаны $I$-алгебры, элементарная теория каждой из которых аксиоматизируется одним атомом в некотором конечном факторе по идеалу Фреше алгебры Линденбаума–Тарского булевых алгебр с выделенными идеалами.