Нормальные автоморфизмы свободных разрешимых про-$p$-групп

Автоморфизм проконечной группы называется нормальным, если он сохраняет все (замкнутые) нормальные подгруппы. Автоморфизм абстрактной группы называется $p$-нормальным, если он сохраняет нормальные подгруппы, индекс которых есть степень простого числа $p$. Внутренний автоморфизм удовлетворяет обоим указанным условиям. Ранее Н. С. Романовский и В. Ю. Болуць описали нормальные автоморфизмы свободной $2$-ступенно разрешимой про-$p$-группы. Из этого описания, в частности, следует, что автоморфизмов в указанной группе больше, чем внутренних. Здесь доказывается, что каждый нормальный автоморфизм свободной разрешимой про-$p$-группы ступени разрешимости $\ge3$ и $p$-нормальный автоморфизм абстрактной свободной разрешимой группы ступени разрешимости $\ge2$ являются внутренними.