О граничной эквивалентности колец и матричных колец над ними

Исследуется вопрос о равенстве границ разрешимости некоторых колец и соответствующих им матричных колец в схемной или схемно-альтернативной иерархиях языков. Пусть $\mathcal B_H (A;\sigma)$ – граница разрешимости алгебраической системы $\langle A;\sigma\rangle$ относительно иерархии $H$. Для кольца $R$ обозначим через $\underline M_n(R)$ алгебру с основным множеством $\bigcup_{1\leqslant k,l\leqslant n}R^{k\times l}$ и операциями + и $\cdot$, заключающимися в расширении при необходимости исходных матриц необходимым количеством нулевых строк и столбцов, добавляемых снизу и справа, с последующими “обычными” сложением и умножением полученных матриц. Основные результаты содержатся в теоремах 1–3.
Теорема 1. Если кольцо $R$ является телом или целостным кольцом и имеет нулевую или нечетную характеристику, то для любого $n\geqslant1$ выполняются равенства $\mathcal B_S(R;+,\,\cdot\,)=\mathcal B_S (R^{n\times n};+,\,\cdot\,)$ и $\mathcal B_S( R;+,\,\cdot\,,1)=\mathcal B_S (R^{n\times n};+,\,\cdot\,,1)$. Если же $R$ – произвольное ассоциативное кольцо с единицей, то ${\mathcal B}_S(R;+,\,\cdot\,,1)=\mathcal B_S( R^{n\times n}; \sigma_0\cup\{e_{i j}\})$ для любых $n\geqslant1$ и $i,j\in\{1,\,\ldots\,, n\}$, где $e_{ij}$ – матричная единица.
Теорема 2. Если $R$ – ассоциативное кольцо с единицей, то $\mathcal B_S(\underline M_n(R))=\mathcal B_S(R;+,\,\cdot\,)$.
Теорема 3. Для любого $n\geqslant1$ имеет место равенство $\mathcal B_{SA}(\underline M_n(\mathbb Z))=\{\forall\neg\vee,\exists\neg\wedge,\forall\exists,\exists\forall\}$.