Свободные подгруппы относительных копредставлений с одним соотношением

Пусть $G$ – нетривиальная группа без кручения, а $w$ – произвольное слово в алфавите $G\cup\{x_1^{\pm1},\dots,x_n^{\pm1}\}$. Доказывается, что при $n\geqslant2$ группа $\widetilde G=\langle G,x_1,x_2,\dots,x_n\,|\,w=1\rangle$ всегда содержит неабелеву свободную подгруппу. При $n=1$ на вопрос о наличии свободных подгрупп в $\widetilde G$ удаётся полностью ответить в унимодулярном случае (т.е. когда сумма показателей при $x_1$ в слове $w$ равна единице). Обсуждаются также некоторые обобщения этих результатов.