О конечных 2-группах Альперина с циклическими вторыми коммутантами

Группой Альперина называется группа, в которой любая 2-порождённая подгруппа имеет циклический коммутант. Ранее автор построил примеры конечных 2-групп Альперина с вторым коммутантом, изоморфным $Z_2$ или $Z_4$. Здесь доказывается, что для любого натурального $n$ существует конечная 2-группа Альперина с вторым коммутантом, изоморфным $Z_{2^n}$.