Эта публикация цитируется в
17 статьях
Об универсальных теориях жёстких разрешимых групп
А. Г. Мясниковa,
Н. С. Романовскийbc a Schaefer School of Engineering and Science, Department of Mathematical Sciences, Stevens Institute of Technology, Hoboken, NJ, USA
b Ин-т матем. им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, РОССИЯ
c Новосибирский гос. ун-т, г. Новосибирск, РОССИЯ
Аннотация:
Группа называется
$p$-жёсткой, где
$p$ – натуральное число, если в ней существует нормальный ряд
$$
G=G_1>G_2>\dots>G_p>G_{p+1}=1,
$$
факторы которого
$G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как
$\mathbb Z[G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Примерами жёстких групп являются свободные разрешимые группы. Указывается рекурсивная система универсальных аксиом, выделяющая в классе
$p$-ступенно разрешимых групп
$p$-жёсткие группы. Доказывается, что если
$F$ – свободная
$p$-ступенно разрешимая группа,
$G$ – произвольная
$p$-жёсткая группа, и
$W$ – итерированное сплетение
$p$ штук бесконечных циклических групп, то для
$\forall$-теорий этих групп имеют место включения
$$
\mathcal A(F)\supseteq\mathcal A(G)\supseteq\mathcal A(W).
$$
Строится
$\exists$-аксиома, выделяющая среди
$p$-жёстких групп те, которые универсально эквивалентны
$W$. Произвольная p-жёсткая группа вкладывается в делимую распавшуюся
$p$-жёсткую группу
$M=M(\alpha_ 1,\dots,\alpha_ p)$. Последняя разлагается в полупрямое произведение абелевых групп
$A_1A_2\dots A_p$, при этом каждый фактор
$M_i/M_{i+1}$ её жёсткого ряда изоморфен
$A_i$ и является делимым модулем ранга
$i$ над кольцом
$\mathbb Z[M/M_i]$. Указывается рекурсивная система аксиом, выделяющая среди
$M$-групп те, которые
$M$-универсально эквивалентны группе
$M$. Отсюда выводится, что универсальная теория группы
$M$ с константами из
$M$ разрешима. В отличие от этого универсальная теория с константами группы
$W$ неразрешима.
Ключевые слова:
$p$-жёсткая группа, универсальная теория группы, разрешимая теория.
УДК:
512.54.05 Поступило: 01.03.2011