Эта публикация цитируется в
4 статьях
Автоморфизмы конечных $p$-групп, допускающих расщепление
Е. И. Хухро Ин-т матем. СО РАН, г. Новосибирск, РОССИЯ
Аннотация:
Для конечной
$p$-группы
$P$ эквивалентны следующие три условия: (а) обладать (собственным) расщеплением, т.е. быть объединением некоторых собственных подгрупп с тривиальными попарными пересечениями; (б) иметь собственную подгруппу, вне которой все элементы имеют порядок
$p$; (в) быть полупрямым произведением
$P=P_\rtimes\langle\varphi\rangle$, где
$P_1$ – подгруппа индекса
$p$, а
$\varphi$ – её расщепляющий автоморфизм порядка
$p$. Доказывается: если конечная
$p$-группа
$P$ с расщеплением допускает разрешимую группу автоморфизмов
$A$ взаимно простого порядка, для которой подгруппа неподвижных точек
$C_P(A)$ разрешима ступени
$d$, то
$P$ обладает максимальной подгруппой, которая нильпотентна ступени, ограниченной в терминах
$p,d$ и
$|A|$. Доказательство основано на аналогичном результате автора и П. В. Шумяцкого для случая, когда
$P$ имеет период
$p$ и на методе “исключения автоморфизмов нильпотентностью”, который был ранее разработан автором, в частности, для изучения конечных
$p$-групп с расщеплением. Также доказывается: если конечная
$p$-группа
$P$ с расщеплением допускает группу автоморфизмов
$A$, точно действующую на
$P/H_p(P)$, то период группы
$P$ ограничен в терминах периода
$C_P(A)$. Доказательство основано на положительном решении автором аналога ослабленной проблемы Бернсайда для конечных
$p$-групп с расщепляющим автоморфизмом порядка
$p$. Эти результаты дают следствия о конечных группах, допускающих фробениусову группу автоморфизмов, ядро которой порождается расщепляющим автоморфизмом простого порядка.
Ключевые слова:
расщепляющий автоморфизм, конечная $p$-группа, период, ступень разрешимости, ступень нильпотентности, фробениусова группа автоморфизмов.
УДК:
512.542 Поступило: 29.01.2012
Окончательный вариант: 24.03.2012