$P$-спектры абелевых групп

Рассматриваются четыре типа подгрупп абелевых групп: произвольные подгруппы ($s$-подгруппы), алгебраически замкнутые подгруппы ($a$-подгруппы), сервантные подгруппы ($p$-подгруппы) и элементарные подгруппы ($e$-подгруппы). Язык $L(X)$ является расширением языка $L$ множеством констант $X$, язык $L_P$ является расширением языка $L$ на один символ одноместного предиката $P$. Для $i\in\{s,a,p,e\}$ пусть $\Delta_i$ состоит из предложений языка $L_P$ , где $L$ – язык абелевых групп, выражающих тот факт, что предикат $P$ определяет подгруппу типа $i$. Для полной теории $T$ абелевых групп и $i\in\{s,a,p,e\}$ кардинальная функция, сопоставляющая кардиналу $\lambda$ супремум числа пополнений в языке $(L(X))_P$ множеств $(T^*\cup\{P(a)\mid a\in X\}\cup\Delta_i)$ для полных расширений $T^*$ теории $T$ в языке $L(X)$ для множеств $X$ мощности $\lambda$, называется $(P,i)$-спектром теории $T$. Для каждого $i\in\{s,a,p,e\}$ даётся полное описание возможных $(P,i)$-спектров полных теорий абелевых групп.