Критерии абнормальности для $p$-дополнений

Доказывается, что для конечной группы $G$, обладающей $p$-дополнением $H$ для некоторого простого числа $p$, эквивалентны утверждения:
(1) все $p$-дополнения в $G$ самонормализуемы;
(2) все $p$-дополнения в $G$ абнормальны;
(3) подгруппа $H$ абнормальна в $G$;
(4) $NG(HX)=HX$ для любой $X\trianglelefteq G$;
(5) $G$ не содержит главных центральных $p$-факторов.