О максимальных и субмаксимальных $\mathfrak X$-подгруппах

Пусть $\mathfrak X$ – класс конечных групп, замкнутый относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и расширений. Следуя Х. Виланду, подгруппу $H$ конечной группы $G$ называют субмаксимальной $\mathfrak X$-подгруппой, если существует изоморфное вложение $\phi\colon G\hookrightarrow G^*$ группы $G$ в некоторую конечную группу $G^*$, при котором $G^\phi$ субнормальна в $G^*$ и $H^\phi=K\cap G^\phi$ для некоторой максимальной $\mathfrak X$-подгруппы $K$ группы $G^*$. В случае, когда $\mathfrak X$ совпадает с классом всех $\pi$-групп для некоторого множества $\pi$ простых чисел, субмаксимальные $\mathfrak X$-подгруппы называют субмаксимальными $\pi$-подгруппами. В своём докладе на известной конференции по конечным группам в г. Санта-Круз в 1979 г. Х. Виланд подчеркнул важность изучения субмаксимальных $\pi$-подгрупп, привёл без доказательства некоторые их свойства и сформулировал ряд открытых вопросов, связанных с этими подгруппами. Здесь доказываются свойства максимальных и субмаксимальных $\mathfrak X$- и $\pi$-подгрупп и обсуждаются некоторые открытые вопросы, как сформулированные Виландом, так и новые. Один из таких вопросов, принадлежащих Виланду, состоит в следующем. Всегда ли все субмаксимальные $\mathfrak X$-подгруппы сопряжены в конечной группе $G$, в которой все максимальные $\mathfrak X$-подгруппы сопряжены?