Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами лиева типа ранга $1$

Группа $G$ насыщена группами из множества групп $\mathfrak R$, если любая конечная подгруппа из $G$ содержится в подгруппе группы $G$, изоморфной некоторой группе из $\mathfrak R$. Ранее [Коуровская тетрадь, вопр. 14.101] был поставлен вопрос о том будет ли периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, чьи ранги ограничены в совокупности, сама простой группой лиева типа?
Даётся частичный ответ на этот вопрос для групп лиева типа ранга $1$. Доказывается, что справедлива следующая
ТЕОРЕМА. Пусть периодическая группа $G$ насыщена конечными простыми группами лиева типа ранга $1$. Тогда $G$ изоморфна простой группе лиева типа ранга $1$ над подходящим локально конечным полем.