Делимые жёсткие группы. III. Однородность и элиминация кванторов

Группа G называется жёсткой, если в ней существует нормальный ряд
$$ G=G_1>G_2>\dots>G_m>G_{m+1}=1, $$
факторы которого $G_i/G_{i+1}$ абелевы и, рассматриваемые как правые $\mathbb{Z}[G/G_i]$-модули, не имеют модульного кручения. Жёсткая группа $G$ называется делимой, если элементы фактора $G_i/G_{i+1}$ делятся на ненулевые элементы кольца $\mathbb{Z}[G/G_i]$. Всякая жёсткая группа вкладывается в делимую.
ТЕОРЕМА. Пусть $G$ — делимая жёсткая группа. Тогда из совпадения $\exists$-типов двух наборов элементов из $G$ одинаковой длины следует, что эти наборы сопряжены автоморфизмом группы.
В качестве следствий получается, что делимые жёсткие группы сильно $\aleph_0$-однородны и что в теории делимых $m$-жёстких групп имеет место элиминация кванторов до булевой комбинации $\exists$-формул.