Вычислимые нумерации семейств бесконечных множеств

У семейства всех бесконечных вычислимо перечислимых множеств нет вычислимой нумерации; у семейства всех бесконечных $\Pi^{1}_{1}$-множеств нет $\Pi^{1}_{1}$-вычислимой нумерации; у семейства всех бесконечных $\Sigma^{1}_{2}$-множеств нет $\Sigma^{1}_{2}$-вычислимой нумерации. При $k>2$ существование $\Sigma^{1}_{k}$-вычислимой нумерации семейства всех бесконечных $\Sigma^{1}_{k}$-множеств приводит к противоречивости $ZF$.