Об асимптотическом росте усреднённой функции Дена для нильпотентных групп

Для произвольной конечно порождённой нильпотентной группы ступени нильпотентности $l\geqslant1$ доказывается, что в любом её конечном представлении усреднённая функция Дена $\sigma(n)$ субасимптотична по отношению к функции $n^{l+1}$. В качестве следствия устанавливается, что для свободной нильпотентной группы ступени нильпотентности $l$ конечного ранга $r\geqslant2$ в любом её конечном представлении усреднённая функция Дена $\sigma(n)$ субасимптотична в смысле М. Громова.