О простых и однородных кольцах и алгебрах
Е. И. Тимошенко Новосибирский гос. техн. ун-т,
пр. К. Маркса, 20,
г. Новосибирск, 630092,
РОССИЯ
Аннотация:
Пусть
$\mathcal M$ — структура некоторой сигнатуры
$\Sigma$. Для любого
упорядоченного набора
$\overline{a}=(a_1,\ldots,a_n)$ элементов из
$\mathcal M$ обозначим через
$\mathrm{ tp}^{\mathcal M}(\overline{a})$
множество формул
$\theta(x_1,\ldots,x_n)$ языка первого порядка
сигнатуры
$\Sigma$ со свободными переменными
$x_1,\ldots,x_n$, таких что
$\mathcal M\models\theta(a_1,\ldots,a_n)$.
Структура
$\mathcal M$ называется сильно
$\omega$-однородной, если для
любых конечных упорядоченных наборов
$\overline{a}$ и
$\overline{b}$
элементов структуры
$\mathcal M$ из совпадения
$\mathrm{ tp}^{\mathcal
M}(\overline{a})$ и
$\mathrm{ tp}^{\mathcal M}(\overline{b})$ следует, что эти
наборы переводятся друг в друга (покомпонентно) некоторым автоморфизмом
структуры
$\mathcal M$. Структура
$\mathcal M$ называется простой в своей
теории, если она элементарно вкладывается во всякую структуру теории
$\mathrm{ Th}\,(\mathcal M)$.
Доказывается простота в своих теориях целочисленных групповых колец конечно
порождённых относительно свободных упорядочиваемых групп, а также следующих
конечно порождённых счётных структур: свободных нильпотентных
ассоциативных колец и алгебр, свободных нильпотентных колец и алгебр
Ли. Для конечно порождённых неабелевых свободных нильпотентных
ассоциативных алгебр и конечно порождённых неабелевых свободных
нильпотентных алгебр Ли над несчётными полями показывается их
сильная
$\omega$-однородность.
Ключевые слова:
однородная структура, простая в своей теории структура, относительно
свободная структура, упорядочиваемая группа, групповое кольцо,
нильпотентная алгебра, нильпотентное кольцо, ассоциативное кольцо, кольцо
Ли.
УДК:
512.5
Поступило: 12.12.2018
Окончательный вариант: 08.11.2019
DOI:
10.33048/alglog.2019.58.407