О минимизации вероятности разорения при эксцедентном перестраховании

Рассматривается задача минимизации вероятности разорения в модели риска Крамера–Лундберга при эксцедентном перестраховании. Наряду с традиционной максимизацией характеристического коэффициента Лундберга $R$, рассмотрена задача прямого вычисления вероятности разорения страховщика $\psi_r(x)$ как функции начального капитала $x$ при заданном уровне собственного удержания $r$. Для решения этой задачи предложен эксцедентный вариант интегрального уравнения Крамера, являющийся эквивалентом уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана. Для решения этого уравнения использован метод продолжения, с помощью которого для марковской модели риска найдено аналитическое решение. На ряде типовых примеров показано, что при любом допустимом значении $x$ вероятность разорения $\psi_x(r):=\psi_r(x)$ обычно является унимодальной функцией $r$. Проведено сравнение аналитического представления вероятности разорения $\psi_r(x)$ с ее асимптотической аппроксимацией при $x\rightarrow\infty$.