О неопределимости в $o$-минимальных структурах конечных наборов матриц, бесконечные произведения которых сходятся, ограничены или неограниченны

Рассматривается задача о сходимости, ограниченности или неограниченности множества всех возможных произведений матриц с сомножителями из некоторой конечной совокупности, к которой сводятся многие вопросы теории управления и математики. Установлена неопределимость данной задачи в $o$-минимальных структурах, содержащих полуалгебраические множества, что может рассматриваться как характеристика сложности задачи. Из полученного результата следует, в частности, что решение рассматриваемой задачи не может быть получено как конечная булева комбинация условий, включающих конечное число не только обычных арифметических операций сложения, вычитания и умножения, но и взятия экспоненты, а также применения ограниченных аналитических функций.

Статья представлена к публикации членом редколлегии: Б. Т. Поляк