Применение некоторых уравнений математической физики для оптимизации функции на множестве. I

На основе результатов применения теории потенциала в оптимизации предлагается в качестве дальнейшего развития использование диффузионного и дифракционного уравнений (уравнения Гельмгольца) с последующей оптимизацией их решения $\varphi(x,\omega)$ как по переменной $x$, так и по переменной $\omega$. Показано, что при определенном видоизменении целевой функции, при котором точка оптимума не изменяется, функция $\varphi(x,\omega)$ оказывается выпуклой по совокупности переменных $(x,\omega)$ для малых $\omega$. На основе физических соображений изучается возможность использования уравнения теплопроводности с простым пограничным слоем для задач глобальной оптимизации. Показывается, как можно сделать, чтобы решения $U(x,t)$ таких уравнений имели положительно определенную матрицу вторых смешанных производных по $x$ для любых $x$ из области оптимизации и любых достаточно малых $t>0$, когда мы находимся достаточно далеко от точки экстремума, и отрицательно определенную по $x$, когда мы находимся вблизи точки экстремума. При наличии указанных свойств функций $\varphi(x,\omega)$ и $U(x,t)$ предлагается использовать градиентный метод на первом этапе и метод Ньютона – Канторовича на втором этапе оптимизации.

Статья представлена к публикации членом редколлегии: А. И. Пропой