Доминирующие, слабоустойчивые и непокрытые множества: свойства и обобщения

Рассматривается задача коллективного выбора в турнире, т.е. тогда, когда отношение мажоритарного доминирования, играющее роль системы коллективных предпочтений на данном множестве альтернатив, представимо полным асимметричным ориентированным графом. Сравниваются три решения задачи коллективного выбора: минимальное доминирующее, непокрытое и минимальное слабоустойчивое множества.
Построены обобщения минимального доминирующего множества и с их помощью выяснено, как устроена система доминирующих множеств в общем случае. Сформулирован критерий, определяющий принадлежность альтернативы минимальному слабоустойчивому множеству. Выявлена связь минимального слабоустойчивого множества с непокрытым множеством. На основе понятия устойчивости альтернативы и множества альтернатив построены обобщения непокрытого и слабоустойчивого множеств – классы $k$-устойчивых альтернатив и $k$-устойчивых множеств. Установлено наличие отношения включения для этих классов.