A monotone finite-difference high order accuracy scheme for the $2D$ convection – diffusion equations

Для двумерного стационарного уравнения конвекции – диффузии общего вида построена, теоретически обоснована и испытана на тестовой задаче устойчивая конечно-разностная схема, определенная на минимальном шаблоне равномерной сетки, удовлетворяющая принципу максимума и обладающая четвертым порядком аппроксимации. Монотонность схемы контролируется двумя параметрами регуляризации, введенными в разностный оператор. Схема ориентирована на решение прикладных задач конвекции – диффузии в условиях развитого пограничного слоя, включая гравитационную и термомагнитную конвекцию, диффузию частиц в магнитной жидкости. Схема апробирована на известной задаче высокоинтенсивной гравитационной конвекции в горизонтальном канале квадратного сечения при однородном нагреве сбоку. Проведено детальное сравнение с монотонной схемой Самарского второго порядка аппроксимации на последовательности квадратных сеток с числом разбиений от 10 до 1000 на каждой стороне квадрата во всем диапазоне чисел Рэлея, соответствующих режиму ламинарной конвекции. Показано значительное преимущество схемы четвертого порядка в скорости сходимости при уменьшении шага сетки.