О начально-краевой задаче для нелокального параболического уравнения с нелокальным граничным условием

Рассмотрено нелинейное нелокальное параболическое уравнение $u_{t}=\Delta u + a(x,t)u^{r} \int\limits_{\Omega}u^{p}(y,t)dy - b(x,t)u^{q}$ для $(x,t)\in \Omega\times (0, +\infty)$ с нелинейным нелокальным граничным условием $u(x,t)\rvert_{\partial\Omega\times (0,+\infty)}= \int\limits_{\Omega}k(x,y,t)u^{l}(y,t)dy$ и начальными данными $u(x,0)=u_{0}(x), x\in \Omega$, где $r,p,q,l$ - положительные постоянные; $\Omega$ - ограниченная область в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ с гладкой границей $\partial\Omega$. Неотрицательные функции $a(x,t)$ и $b(x,t)$ определены при $x\in \bar\Omega, t\geq 0$ и локально непрерывны по Гёльдеру, неотрицательная непрерывная функция $k(x,y,t)$ определена при $x\in \partial\Omega, y\in \bar\Omega, t\geq 0$, неотрицательная непрерывная функция $u_{0}(x)$ - при $x\in \bar\Omega$ и удовлетворяет условию $u_{0}(x)=\int\limits_{\Omega}k(x,y,0)u'_{0}(y)dy$ при $x\in \partial\Omega.$ Изучены классические решения. Для доказательства существования локального максимального решения рассмотрена регуляризация исходной задачи. Установлены существование локального решения регуляризованной задачи и сходимость ее решений к локальному максимальному решению исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что верхнее решение не меньше нижнего. Для нетривиальных начальных функций при выполнении определенных условий на данные задачи установлена положительность решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.