On some properties of the lattice of totally $\sigma$-local formations of finite groups

Все рассматриваемые в статье группы являются конечными. Пусть $\sigma=\{\sigma_{i}|i\in I\}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел $\mathbb{P}$. Если $n$ – целое число, $G$ – группа и $\mathfrak{F}$ – класс групп, то $\sigma(n)=\{\sigma_{i}|\sigma_{i} \cap \pi(n)\neq \varnothing\}$, $\sigma(G)=\sigma(|G|)$ и $\sigma(\mathfrak{F})=\cup_{G\in \mathfrak{F}} \sigma(G)$. Функция $f$ вида $f:\sigma\rightarrow$ {формации групп} называется формационной $\sigma$-функцией. Для всякой формационной $\sigma$-функции $f$ класс $LF_{\sigma}(f)$ определяется следующим образом:
$LF_{\sigma}(f)=(G|G=1$ или $G\neq 1$ и $ G\backslash O_{\sigma'_{i},\sigma_{i}}(G)\in f(\sigma_{i})$ для всех $\sigma_{i}\in \sigma(G))$.
Если для некоторой формационной $\sigma$-функции $f$ имеет место $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f)$, то класс $\mathfrak{F}$ называют $\sigma$-локальным, а формационную$\sigma$-функцию $f$ – $\sigma$-локальным определением $\mathfrak{F}$. Всякую формацию считают $0$-кратно $\sigma$-локальной. При $n > 0$ формацию $\mathfrak{F}$ называют $n$-кратно $\sigma$-локальной, если $\mathfrak{F}=(1)$ – класс всех единичных групп или $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f)$, где $f(\sigma_{i})$ является $(n-1)$-кратно $\sigma$-локальной формацией для всех $\sigma_{i}\in \sigma(\mathfrak{F})$. Формацию называют тотально $\sigma$-локальной, если она $n$-кратно $\sigma$-локальна для всякого целого неотрицательного числа $n$. Цель данной работы – изучение свойств решетки тотально $\sigma$-локальных формаций. В частности, мы доказываем, что решетка всех тотально$\sigma$-локальных формаций является алгебраической и дистрибутивной.