О почти аппроксимируемости конечными $p$-группами нисходящих HNN-расширений групп

Пусть $G$ — группа конечного общего ранга, $\varphi $ — инъективный эндоморфизм группы $G$, $G(\varphi)$ — нисходящее HNN-расширение группы $G$, соответствующее эндоморфизму $\varphi $. И пусть индекс подгруппы $G\varphi $ в группе $G$ конечен и равен $n$. Доказано, что если для некоторого простого числа $p$, не делящего $n$, группа $G$ почти аппроксимируема конечными $p$-группами, то и группа $G(\varphi)$ почти аппроксимируема конечными $p$-группами. Это обобщает ряд известных результатов и в том числе теорему Д. Вайса и Т. Су о финитной аппроксимируемости произвольного нисходящего HNN-расширения почти полициклической группы.