Об одном применении методов исследования алгебраической независимости гипергеометрических рядов и значений $g$-адических функций

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируется и доказываются теорема для некоторых элементов прямых произведений $p$-адических полей. Пусть $\mathbb{Q}_p$ — пополнение $\mathbb{Q}$ по $p$-адической норме, поле $\Omega_{p}$ — пополнение алгебраического замыкания $\mathbb{Q}_p$, $g=p_1p_2\ldots p_n$ — произведение различных простых чисел, а пополнение $\mathbb{Q}$ по $g$-адической псевдонорме это кольцо $\mathbb{Q}_g$, иными словами $\mathbb{Q}_{p_1}\oplus\ldots\oplus\mathbb{Q}_{p_n}$. Рассматривается кольцо $\Omega_g\cong\Omega_{p_1}\oplus\ldots\oplus\Omega_{p_n}$, содержащее $\mathbb{Q}_g$ в качестве подкольца. Также, рассматриваются гипергеометрические ряды вида
$$f(z)=\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(\gamma_1)_j\ldots(\gamma_r)_j}{(\beta_1)_j\ldots(\beta_s)_j}(zt)^{tj},$$
и их формальные производные. Получены достаточные условия, при которых значения ряда $f(\alpha)$ и формальных производных удовлетворяют глобальному соотношению алгебраической независимости, если $\alpha=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{k}g^{r_{k}}$, где $a_{k}\in \mathbb Z_g,$ а неотрицательные рациональные числа $r_{k}$ образуют возрастающую и стремящуюся к $+\infty$ при $j\rightarrow +\infty$ последовательность.