Значения гипергеометрических $F$-рядов в полиадических лиувиллевых точках

В настоящей работе доказывается бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических $F$ – рядов в полиадических лиувиллевых точках. Гипергеометрическая функция – это функция вида
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\alpha_{1}\right)_{n} \cdots\left(\alpha_{r}\right)_{n}}{\left(\beta_{1}\right)_{n} \ldots\left(\beta_{s}\right)_{n} n !} z^{n}, |z| < 1. $$
$F$ – ряд – это ряд вида $f_n = \sum_{n=0}^{\infty}a_n n! z^n$, коэффициенты которого $a_n$ удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле $\mathbb{Q}_p$ – $p$ – адических чисел и их алгебрических расширений $\mathbb{K}_v$. Полиадическое число – это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty} a_nn!, a_n \in \mathbb{Z}$. Лиувиллево число – это вещественное число $x$ такое, что для всех положительных челых чисел $n$ существует бесконечное число пар целых чисел $(p, q), q > 1$ таких, что $0 < \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n}. $ Полиадическое лиувиллево число $\alpha$ обладает тем свойством, что для любых чисел $P, D$ существует целое число $|A|$ такое, что для всех простых чисел $p \leq P$ выполняется неравенство $|\alpha - A|_p < A^{-D}. $