Формула обращения для рядов Дирихле и ее применение

Метод контурного интегрирования, применяемый для изучения асимптотики сумм коэффициентов рядов Дирихле, основан на формуле обращения. Она позволяет выразить сумму коэффициентов через сумму ряда. Такой подход дает эффективные оценки при условии, что абсцисса абсолютной сходимости ряда $\sigma_a\ge1$. В некоторых случаях при изучении арифметических функций у производящих рядов Дирихле эта величина меньше $1$. Например, такая ситуация возникает при изучении распределения значений функции $d(n)$, числа делителей $n$, в классах вычетов по некоторому модулю. Как правило, в этом случае применяется тауберова теорема Деланжа, которая дает только главный член асимптотики для частоты попаданий значений $d(n)$ в классы вычетов. Но производящие ряды обладают лучшими свойствами, чем необходимо для применения этой теоремы. Используя метод контурного интегрирования можно получить более точные результаты. Но для этого необходима формула обращения, которая была бы эффективна для рядов с $\sigma_a<1$.
В настоящей работе доказывается такая формула обращения, которая применяется для изучения распределения значений функции $d(n)$ в классах вычетов, взаимно простых с модулем. В. Наркевич с помощью теоремы Деланжа получил главный член асимптотики для частоты попаданий значений $d(n)$ в классы вычетов. Применение формулы обращения, доказанной в этой работе, позволило получить более точный результат.