Многочлены с малыми значениями в окрестностях корней в архимедовой и неархимедовой метриках

Для натурального $Q>1$ обозначим $I$ — интервал $I\subset \mathbb{R} \text{ длины } \mu_1 I=Q^{-v_1},\ v_1>0$ $\left(\mu_1 - \text{мера Лебега}\right)$ и $\mu_2 K = Q^{-v_2}, \ v_2>0$ $\left(\mu_2 - \text{мера Хаара измеримого цилиндра } K \subset \mathbb{Q}_p\right)$. Введем множество полиномов степени $\leq n$ и высоты $H\left(P\right)\leq Q$
$$ \mathcal{P}_n\left(Q\right)=\left\{P\in \mathbb{Z}[x]\ :\ \deg{P}\geq n,\ H\left(P\right)\leq Q\right\}. $$
Для таких многочленов обозначим $\mathcal{A}\left(n,Q\right)$ множество действительных корней, и $p$-адических корней $P\left(x\right)$, лежащих в пространстве $V=I\times K$. В работе доказано, что подходящем $c_1=c_1\left(n\right)$ и $0\leq v_1, v_2\le \frac{1}{2}$ справедливо неравенство
$$ \#\mathcal{A}\left(n,Q\right)\ge c_1 Q^{n+1-v_1-v_2}. $$
Доказательство проводится методами метрической теории диофантовых приближений, разработанных В. Г. Спринджуком при доказательстве гипотезы Малера и В. И. Берника при доказательстве гипотезы А. Бейкера.