Решение задачи Дельсарта для $4$-дизайнов на сфере $\mathbb{S}^{2}$

Важной проблемой дискретной геометрии и вычислительной математики является оценка минимального числа узлов $N(s)$ квадратурной формулы (взвешенного $s$-дизайна) вида $\frac{1}{|\mathbb{S}^{2}|}\int_{\mathbb{S}^{2}}f(x) dx= \sum_{\nu=1}^{N}\lambda_{\nu}f(x_{\nu})$ с положительными весами, точной для всех сферических полиномов степени не выше $s$. P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977) для оценки снизу $N(s)$ сформулировали экстремальную задачу $A_{s}$ для неотрицательных на $[-1,1]$ разложений по ортогональным полиномам Гегенбауэра (Лежандра для $\mathbb{S}^{2}$) с ограничениями на знак коэффициентов Фурье–Гегенбауэра. С помощью варианта данной задачи $A_{s,n}$ на полиномах степени $n=s$, они доказали классическую оценку плотных дизайнов. Эта оценка точная и дает решение $A_{s}$ только в исключительных случаях ($s=0,1,2,3,5$ для $\mathbb{S}^{2}$). Для общих размерностей известны случаи, когда $A_{s,n}>A_{s,s}$ при $n>s$, что приводит к лучшим оценкам $N(s)$. В частности, Н.Н. Андреев (2000) таким способом доказал минимальность $11$-дизайна на сфере $\mathbb{S}^{3}$. Родственные задачи Дельсарта также сформулированы для оценки мощности сферических кодов. В этом направлении В.В. Арестов и А.Г. Бабенко (1997), базируясь на методах бесконечномерного линейного программирования, решили аналог задачи $A_{s}$ для случая сферических $0.5$-кодов на сфере $\mathbb{S}^{3}$ (проблема контактного числа). Затем этот метод получил развитие в работах Д.В. Штрома, Н.А. Куклина.
А.В. Бондаренко и Д.В. Горбачев (2012) показали, что $N(4)=10$. Данный факт вытекает из оценки $A_{4,7}>9$, ранее полученной P. Boyvalenkov и S. Nikova (1998), и существования взвешенных 4-дизайнов из 10 узлов. Тем не менее, представляет интерес решить задачу $A_{4}$ точно, нацеливаясь перенести методику вычисления $A_{s}$ на общие размерности и порядки дизайнов. В данной работе доказывается, что
$$ A_{4}=A_{4,22}=9.31033\ldots $$
Для этого адаптируется метод Арестова–Бабенко–Куклина и проблема сводится к построению специальной квадратурной формулы на $[-1,1]$, согласованной с видом предполагаемой экстремальной функции (полиномом). Предлагаемый метод базируется на применении нелинейного программирования, в частности, полуопределенного программирования, и решении полиномиальной системы уравнений, возникающей из квадратурной формулы. Для доказательства существования аналитического решения такой системы в окрестности численного решения применяется интервальный метод Кравчука из HomotopyContinuation.jl.