О полиадических числах Лиувилля

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно.
Каноническое разложение полиадического числа $\lambda$ имеет вид
$$ \lambda= \sum_{n=0}^\infty a_{n} n!, a_{n}\in\mathbb{\mathrm{Z}}, 0\leq a_{n}\leq n.$$
Этот ряд сходится в любом поле $p$- адических чисел $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $.
Будем называть полиадическое число $\lambda$ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P$ существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел $p$, удовлетворяющих неравенству $p\leq P$ выполнено неравенство
$$\left|\lambda -A \right|_{p}<A^{-n}.$$
Обозначим, для натурального $m$
$$\Phi(k,m)=k^{k^{\ldots^{k}}}$$
результат последовательного $m$- кратного возведения в степень. Пусть
$$n_{m}=\Phi(k,m)$$
и пусть
$$\alpha=\sum_{m=0}^{\infty}(n_{m})!.$$
Теорема 1. Для любого натурального числа $k\geq 2$ и любого простого числа $p$ ряд $\alpha$ сходится к трансцендентному элементу кольца $\mathbf{Z}_p.$ Иными словами, полиадическое число $\alpha$ глобально трансцендентное.