Обобщённая проблема Дирихле для двумерной решётки приближений Дирихле

В работе изучается связь проблемы определения количества точек двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте и интегрального представления гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле. Введено понятие компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле. Найдено представление для первой компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле через дзета-функцию Римана. Относительно первой компоненты установлен парадоксальный факт, что она непрерывна для любого иррационального $\beta$ и разрывна во всех рациональных точках $\beta$.
Это относится к зависимости только от параметра $\beta$. Для второй компоненты гиперболической дзета-функции двумерной решётки приближений Дирихле в случае рационального значения $\beta=\frac{a}{b}$ получена асимптотическая формула для количества точек второй компоненты двумерной решётки приближений Дирихле в гиперболическом кресте. Полученная формула даёт интегральное представление в полуплоскости $\sigma>\frac{1}{2}$.
Основным инструментом исследований была формула суммирования Эйлера. Для целей работы необходимо было получить явные выражения остаточных членов в асимптотических формулах для числа точек классов вычетов двумерной решётки приближений Дирихле по растянутой фундаментальной решётке $b\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$.
И теорема 1, и теорема 2, доказанные в работе, показывают наличие зависимости второго члена асимптотической формулы и вычета гиперболической дзета-функции решётки $\Lambda\left(\frac{a}{b}\right)$ от величины знаменателя $b$ и независимости от числителя $a$. Ранее аналогичные эффекты были обнаружены А. Л. Рощеней для других обобщений проблемы Дирихле.
В работе поставлена задача об уточнении порядка остаточного члена в асимптотических формулах с помощью изучения величин
$$ R_1^*(T,b,\delta)=\sum_{q=1}^{\frac{\sqrt{T}}{b}}\left\{\frac{T}{bq}-\delta\right\}-\frac{\sqrt{T}}{2b}, R_2^*(T,b,\delta)=\sum_{p=1}^{\sqrt{T}-\delta}\left\{\frac{T}{bp+b\delta}\right\}-\frac{\sqrt{T}}{2}. $$

Предлагается сначала изучить возможности элементарного метода И. М. Виноградова, а потом получить наиболее точные оценки с помощью метода тригонометрических сумм. В работе намечены направления дальнейших исследований по данной тематике.