Весовое неравенство Карлемана для дробного градиента

Доказывается весовое неравенство Карлемана для дробного градиента
$$ \|e^{-t\langle a,{ \cdot }\rangle}|{ \cdot }|^{-\gamma}f\|_{q}\le C\|e^{-t\langle a,{ \cdot }\rangle}|{ \cdot }|^{\bar{\gamma}-\bar{\delta}}\nabla^{\alpha}f\|_{p}, f\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{d}), t\ge 0. $$
При $\alpha=1$ оно было доказано Л. Де Карли, Д. Горбачевым и С. Тихоновым (2020). Приведено приложение неравенства Карлемана для доказательства свойства единственности продолжения слабого решения дифференциального неравенства с потенциалом $|\nabla^{\alpha}f|\le V|f|$ в весовом пространстве Соболева.