Некоторые результаты для весовых констант Бернштейна — Никольского

В данной небольшой обзорного плана работе мы приводим последние результаты по точным константам Бернштейна — Никольского для полиномов на многомерной единичной сфере в пространстве $L^{p}$ с весом Данкля и оператором Бельтрами–Данкля и родственным весовым константам для полиномов и целых функций экспоненциального типа и операторами Гегенбауэра, Бесселя. Долгое время классическим направлением теории неравенств Бернштейна — Никольского было установление порядкового роста констант в зависимости от роста степени полиномов. Современным развитием теории является доказательство асимптотических равенств типа Левина — Любинского, которые уточняют порядковые соотношения. Основные результаты здесь получили F. Dai, M. Ganzburg, E. Levin, D. Lubinsky, S. Tikhonov, авторы работы.
Мы отталкиваемся от доказанных ранее соотношений между многомерной константой Бернштейна — Никольского и одномерной константой для алгебраических полиномов с весом и дифференциальным оператором Гегенбауэра. В случае группы отражений октаэдра и функции кратности $\kappa$, такой что $\min \kappa=0$, имеет место равенство между этими константами. Как следствие, для $p\ge 1$ это позволяет выписать асимптотические равенства равенства Левина — Любинского для констант Бернштейна — Никольского с целой степенью оператора Бельтрами — Данкля. Случай $\min \kappa>0$ рассмотрен для случая констант Никольского и окружности. Для подпространства четных полиномов с четными гармониками установлена связь с точной константой Никольского для полиномов на компактных однородных пространствах ранга $1$. Это позволило выписать равенство Левина — Любинского для поточечных констант при всех $p>0$ и обычных констант при $p\ge 1$, которое согласуется с известным порядковым неравенством.
Предельные константы в асимптотических равенствах Левина — Любинского выражаются через константы Бернштейна — Никольского для целых функций экспоненциального типа на евклидовом пространстве, полуоси со степенным весом и операторами Лапласа, Лапласа — Данкля, Бесселя. Дальнейшее уточнение значений констант связано с их оценкой при больших значения размерности пространства или степени степенного веса. В работе мы приводим схему получения таких оценок для случая пространства $L^{1}$. Этот случай также интересен тем, что он связан с экстремальной проблемой Ремеза о концентрации $L^{1}$-нормы.