О пересечении двух однородных последовательностей Битти

Однородными последовательностями Битти называют последовательности вида $a_n=[\alpha n]$, где $\alpha$ — положительное иррациональное число. В 1957 г. Т. Сколем показал, что если числа $1,\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности $[\alpha n]$ и $[\beta n]$ имеют бесконечно много общих членов. Т. Банг усилил этот результат: пусть $S_{\alpha,\beta}(N)$ — количество натуральных чисел $k$, $1\leqslant k\leqslant N$, принадлежащих одновременно двум последовательностям Битти $[\alpha n]$ и $[\beta m]$ и числа $1,\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}$ линейно независимы над полем рациональных чисел, тогда $S_{\alpha,\beta}(N)\sim \frac{N}{\alpha\beta}$ при $N\to\infty.$
В работе доказывается уточнение этого результата для случая алгебраических чисел. Пусть $\alpha,\beta>1$ — такие иррациональные алгебраические числа, что $1,\frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta}$ линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для любого $\varepsilon>0$ справедлива асимптотическая формула
$$S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{N}{\alpha\beta}+O\bigl(N^{\frac12+\varepsilon}\bigr).$$