О множестве исключений в произведении множеств натуральных чисел с асимптотической плотностью $1$

В статье изучается следующая задача. Пусть имеется два подмножества множества натуральных чисел, которые мы обозначим как $A$ и $B$. Пусть дополнительно известно также, что асимптотическая плотность этих множеств $A,B$ равна $1$. Мы определяем множество натуральных чисел, которые являются представимыми в виде произведения этих множеств $AB$, то есть такие элементы $ab$, где $a \in A, b \in B$. Мы изучаем свойства этого подмножества произведений во множестве всех натуральных чисел. Авторы S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna в статье [1] доказали помимо всего прочего, что плотность множества $AB$ также равна $1$. Более того была выведена количественная версия этого утверждения, а именно получена оценка на множество $\mathbb{N} \setminus AB$, которое мы обозначим через $\overline{AB}$. А именно, этими авторами в случае когда известны количественные верхние оценки на $\overline{A}\cap[1,x] = \alpha(x)x, \overline{B}\cap[1,x] = \beta(x)x, \alpha(x),\beta(x) = O(1/(\log x)^a), x \rightarrow \infty$ выведена и верхняя оценка на множество $\overline{AB} \cap [1,x]$. В данной работе мы изучаем случай когда $\alpha, \beta$ стремятся к нулю медленнее чем в вышеуказанном случае и несколько уточняем верхнюю оценку на множество $\overline{AB} \cap [1,x]$. В настоящей статье мы рассматриваем случай $\alpha(x), \beta(x) = O\bigl(\frac{1}{(\log \log x)^a}\bigr)$ при некотором фиксированном $a>1$. Мы заимствуем подходы, аргументы и схему доказательства из упомянутой работы трех авторов S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna [1].