Задача о нахождении функции по ее шаровым средним

Классическим свойством непостоянной $2r$-периодической функции на вещественной оси является отсутствие у нее периода, несоизмеримого с $r$. Одним из многомерных аналогов этого утверждения является следующая хорошо известная теорема Л. Зальцмана о двух радиусах: для существования ненулевой локально суммируемой функции $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{C}$ с нулевыми интегралами по всем шарам радиусов $r_1$ и $r_2$ в $\mathbb{R}^n$, необходимо и достаточно, чтобы $r_1/r_2\in E_n$, где $E_n$ — множество всевозможных отношений положительных нулей функции Бесселя $J_{n/2}$. Условие $r_1/r_2\notin E_n$ эквивалентно равенству $\mathcal{Z}_{+}\big(\widetilde{\chi}_{r_1}\big)\cap\mathcal{Z}_{+}\big(\widetilde{\chi}_{r_2}\big)=\varnothing$, где $\chi_{r}$ — индикатор шара $B_r=\{x\in\mathbb{R}^n: |x|<r\}$, $\widetilde{\chi}_{r}$ — сферическое преобразование (преобразование Фурье-Бесселя) индикатора $\chi_{r}$, $\mathcal{Z}_{+}(\widetilde{\chi}_{r})$ — множество всех положительных нулей четной целой функции $\widetilde{\chi}_{r}$. В терминах сверток теорема о двух радиусах означает, что оператор
$$ \mathcal{P}f=(f\ast \chi_{r_1}, f\ast \chi_{r_2}), f\in L^{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n) $$
инъективен тогда и только тогда, когда $r_1/r_2\notin E_n$. В данной работе найдена новая формула обращения оператора $\mathcal{P}$ при условии $r_1/r_2\notin E_n$. Полученный результат существенно упрощает известные ранее процедуры восстановления функции $f$ по заданным шаровым средним $f\ast \chi_{r_1}$ и $f\ast \chi_{r_2}$. В доказательствах используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций.