Устойчивость границы в проблеме Ферма — Штейнера в гиперпространствах над конечномерными нормированными пространствами

Проблема Ферма — Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства $Y$ таких, что сумма расстояний от каждой из них до точек из некоторого фиксированного конечного подмножества $A = \{A_1, \ldots, A_n\}$ пространства $Y$ минимальна. В настоящей работе эта проблема рассматривается в случае, когда $Y=\mathcal{H}(X)$ — это пространство непустых компактных подмножеств конечномерного нормированного пространства $X$, наделённое метрикой Хаусдорфа, то есть $\mathcal{H}(X)$ является гиперпространством над $X$. Множество $A$ называют границей, все $A_i$ — граничными множествами, а компакты, которые реализуют минимум суммы расстояний до $A_i$ — компактами Штейнера.
В данной статье изучается вопрос устойчивости в проблеме Ферма — Штейнера при переходе от границы из конечных компактов $A_i$ к границе, состоящей из их выпуклых оболочек $\mathrm{Conv}(A_i)$. Под устойчивостью здесь имеется в виду, что при переходе к выпуклым оболочкам граничных компактов минимум суммы расстояний $S_A$ не изменится.
В работе было продолжено изучение геометрических объектов, а именно, множеств сцепки, возникающих в проблеме Ферма — Штейнера. Также были выведены три различных достаточных условия неустойчивости границы из $\mathcal{H}(X),$ два из которых опираются на построенную теорию таких множеств. Для случая неустойчивой границы $A = \{A_1, \ldots, A_n\}$ был разработан метод поиска деформаций некоторого элемента из $\mathcal{H}(X),$ которые приводят к компактам, дающим меньшее значение суммы расстояний до $\mathrm{Conv}(A_i)$, чем $S_A.$
Построенная в рамках данного исследования теория была применена к одной известной из недавних работ границе $A\subset \mathcal{H}(\mathbb{R}^2),$ а именно, была доказана её неустойчивость и были найдены компакты, реализующие меньшую, чем $S_A,$ сумму расстояний до $\mathrm{Conv}(A_i).$