О полиадических числах

Кольцо полиадических чисел можно определять несколькими способами. Можно ввести метризуемую топологию на кольце целых чисел,считая множество идеалов $(m)$ полной системой окрестностей нуля. Полной системой окрестностей в кольце целых чисел является совокупность множеств вида $a+(m)$. Операции сложения и умножения непрерывны в этой топологии и кольцо целых чисел с этой топологией является топологическим кольцом. Пополнение полученного топологического кольца целых чисел - это кольцо полиадических чисел. Равносильное определение - обратный (проективный) предел
$$\lim_{\overleftarrow{m}}\mathbb{\mathrm{Z}}/m!\mathbb{\mathrm{Z}}.$$
Напоним, что каноническое разложение полиадического числа $\lambda$ имеет вид
$$ \lambda= \sum_{n=0}^\infty a_{n} n!, a_{n}\in\mathbb{\mathrm{Z}}, 0\leq a_{n}\leq n.$$
Этот ряд сходится в любом поле $p-$ адических чисел $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ . Обозначая сумму этого ряда в поле $ \mathbb{\mathrm{Q}}_p $ символом $\lambda^{(p)}$, мы получаем, что любое полиадическое число $\lambda$ можно рассматривать, как элемент прямого произведения колец целых $p-$ адических чисел $ \mathbb{\mathrm{Z}}_p $ по всем простым числам $p$. Верным является и обратное утверждение, означающее, что кольцо целых полиадических чисел совпадает с этим прямым произведением. Однако доказательства последнего утверждения обнаружить не удалось. Цель рассматриваемой заметки - восполнить этот пробел. Кроме того, рассказано о некоторых применениях полиадических чисел.