Обобщенное преобразование Ганкеля на прямой

С 2012 года в гармоническом анализе на прямой со степенным весом интенсивно изучается двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, предложенное S. Ben Saïd, T. Kobayashi, B. Orsted и обобщающее преобразование Данкля $(a=2)$, зависящее только от одного параметра $k\ge 0$. Вместе с увеличением разнообразия унитарных преобразований наличие параметра $a>0$ при $a\neq 2$ приводит к появлению деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. Быстрое убывание сохраняется только для последовательности $a=2/n$, $n\in$ $\mathbb{N}$. Некоторая замена переменной в этом случае улучшает и другие свойства обобщенного преобразования Фурье. Обобщенное преобразование Данкля, получающееся после замены переменной при $a=2/(2r+1)$, $r\in$ $\mathbb{Z}_+$, лишено деформационных свойств и, в значительной степени, уже изучено. В настоящей работе изучается обобщенное преобразование Ганкеля, получающееся после замены переменной при $a=1/r$, $r\in$ $\mathbb{N}$. Для него описано инвариантное подпространство из быстро убывающих на бесконечности функций, найден дифференциально-разностный оператор, для которого ядро обобщенного преобразования Ганкеля является собственной функцией. На основе новой теоремы умножения для функций Бесселя Boubatra — Negzaoui — Sifi построены два оператора обобщенного сдвига, исследована их $L^p$-ограниченность и положительность. Для теоремы умножения дано простое доказательство. Определены две свертки, для которых доказаны теоремы Юнга. С помощью сверток определены обобщенные средние, для которых предложены достаточные условия $L^p$-сходимости и сходимости почти всюду. Исследованы обобщенные аналоги средних Гаусса — Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера–Рисса.