Об оценках длин периодов функциональных непрерывных дробей над алгебраическими числовыми полями

В статье исследуются верхние оценки на длины периодов функциональных непрерывных дробей для ключевых элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, конечная длина периода тривиальным образом оценивается сверху удвоенной степенью фундаментальной $S$-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени. В 2019 году В.П. Платоновым и Г.В. Федоровым для гиперэллиптических полей $\mathcal{L} = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$, $\deg f = 2g+2$, над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел найден точный промежуток значений $s \in \mathbb{Z}$ таких, что непрерывные дроби элементов вида $\sqrt{f}/x^s \in \mathcal{L} \setminus \mathbb{Q}(x)$ периодические. В данной статье найдено обобщение этого результата для произвольного поля в качестве поля констант. Опираясь на этот результат, найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптических полей над числовыми полями $K$, зависящие только от рода $g$ гиперэллиптического поля, степени расширения $k = [K:\mathbb{Q}]$ и порядка $m$ подгруппы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.