Об одной аддитивной задаче, связанной с разложениями по линейной рекуррентой последовательности

Пусть $a_1,\ldots,a_d$ – натуральные числа, удовлетворяющие условию $a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_{d-1}\geq a_d=1.$ Определим последовательность $\{T_n\}$ при помощи линейного рекуррентного соотношения $T_n=a_1T_{n-1}+a_2T_{n-2}+\ldots+a_dT_{n-d}$ и начальных условий $T_0=1,$ $T_n=1+a_1T_{n-1}+a_2T_{n-2}+\ldots+a_nT_0$ для $n<d$. Пусть $\mathbb{N}(w)$ – множество натуральных чисел, для которых жадное разложение по линейной рекуррентной последовательности $\{T_n\}$ заканчивается на некоторое слово $w$. При этом $w$ выбирается так, чтобы множество $\mathbb{N}(w)$ было непустым. Рассматривается задача о числе $r_k(N)$ представлений натурального числа $N$ в виде суммы $k$ слагаемых из $\mathbb{N}(w)$.
С использованием полученного ранее описания множеств $\mathbb{N}(w)$ в терминах сдвигов торов размерности $d-1$ получена асимтотическая формула для числа представлений $r_k(N)$, а также найдены верхние оценки для числа представлений.
Найдены условия на $k$, при выполнении которых искомое представление существует для всех достаточно больших натуральных $N$. В частности, такое представление существует, если $k\geq 1+(a_1+1)^{m-d+1}\frac{(a_1+1)^d-1}{a_1}$, где $m$ – длина фиксированного окончания $w$ жадного разложения. Кроме того, получена асимтотическая формула для среднего числа представлений.
В заключении сформулировано несколько нерешенных задач.