Об экстремальном множестве частных целых чисел

В статье изучается следующая задача. Пусть заданы два конечных подмножества из множества натуральных чисел, которые всюду в тексте будут обозначаться как $A$ и $B$. Будем считать, что они принадлежат конечному отрезку чисел $[1,Q]$. По определению задаем множество дробей $A/B$, элементы которого являются представимыми в виде частного этих множеств $A,B$, то есть такие элементы $a/b$, где $a \in A, b \in B$. В статье исследуются свойства этого подмножества частных. В статье [13], была получена нетривиальная нижняя оценка на размер множества $A/B$ для таких множеств $A,B$ без всяких дополнительных условий на эти множества. В данной статье мы рассматриваем экстремальный случай , который состоит в следующем. Пусть известно, что размер множества произведений $AB$ является асимптотически наименьшим возможным. Мы выводим отсюда, что размер множества частных $A/B$ является асимптотически наибольшей возможной величиной.